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Méthodes des fonctions de transfert approchées

I. INTRODUCTION

La recherche des solutions de problèmes de conduction par la méthode des transformées de LAPLACE s’effectue en trois étapes :

ü Ecriture de l’équation transformée du problème

ü Résolution de cette équation transformée

ü Retour à la solution physique par application du théorème d’inversion ou par utilisation de tables de transformée de Laplace.

L’exemple d’un mur soumis à une température constante T_p sur ses deux faces est considéré dans ce TP. La solution en x = L /2 dans le domaine de LAPLACE appelée fonction de transfert permet de déduire des fonctions de transfert approchées d’ordre 1 et 2 facilement inversibles. Ceci conduit à des solutions approchées du problème qui sont comparées à la solution analytique exacte.

II. POSITION DE PROBLEME

On considère l’équation de la chaleur dans un mur d’épaisseur e et de diffusivitéa :

Les deux faces du mur sont soumises à une température initiale f(t) de sorte que l’on peut écrire :

On supposera enfin que le mur est à une température initiale T(x,0) = 0

III. FORMULATION DANS LE DOMAINE DE LAPLACE

On utilise la transformation de LAPLACE pour résoudre ce problème. Désignons respectivement par q (x,p) et F(p), les transformations de Laplace de T(x,t) et de f(t)

Effectuons à présent la transformation de Laplace sur les deux membres de l’équation :

Les propriétés de linéarité de l’opérateur L (qui désigne la transformation de Laplace ) permettent d’écrire :

Or:

Sachant que T(x,0)=0 on a donc :

Soit:

Les conditions aux limites s’écrivent quant à elles :

La résolution de l’équation différentielle du second ordre précédente conduit à :

Où les deux constantes d’intégration C₁ et C₂ sont déterminées par les conditions aux limites. On a en effet :

Soit:

Ou encore:

Or:

C₂ = F(p) - C₁

Donc:

La transformée de la température s’écrit donc :

Soit:

En introduisant la fonction Sinus hyperbolique, ceci s’écrit :

IV. FONCTION DE TRANSFERT

On définit la fonction de transfert H(x,p) à une abscisse x, comme étant le rapport dans le domaine de Laplace de la réponse q (x,p) à la sollicitation F(p).

Elle s’écrit donc :

La transformation inverse de la fonction de transfert conduit à la réponse impulsionnelle du système linéaire considéré.

La réponse à un échelon on à toute autre excitation variable s’en déduit par intégration (théorème de DUHAMEL).

V. FONCTIONS DE TRANSFERT APPROCHEES

La fonction de transfert précédente est difficilement inversible. Nous allons donc chercher à l’approcher en utilisant le fait que la fonction sinh est développable en série entière toujours convergente :

En remplaçant dans l’expression de la fonction de transfert, le sinus hyperbolique par les deux premiers termes de son développement, on obtient la fonction de transfert approchée à l’ordre un suivante :

La fonction de transfert approchée à l’ordre un s’écrira donc au centre du mur ( x = e/2 ) :

En considérant les trois premiers termes du développement en série du sinus hyperbolique, on montre de la même manière que la fonction de transfert approchée à l’ordre deux au centre du mur (x=e/2) s’écrit :

VI. REPONSES IMPULSIONNELLES ET REPONSES INDICIELLES

Les fonctions de transfert approchées précédentes s’écrivent sous la forme générale :

Afin de pouvoir effectuer facilement le retour vers l’espace physique, nous allons effectuer une division polynomiale suivant les puissances croissantes de p et écrire :